Question

f(x)=(2+x+ax²)ln(1+x)-2x。当x＝0时，f(x)有极大值，求a

Answer 1

①若a≥0，由f'(x)知，
当x＞0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x＞0＝f(0)，
这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．
②若a<0,
设函数h(x)＝(f(x))/2＋x＋ax2＝ln(1＋x)－(2x)/2＋x＋ax2.
由于当|x|＜min|a|(1)时，2＋x＋ax2＞0，
故h(x)与f(x)符号相同．
又h(0)＝f(0)＝0，
故x＝0是f(x)的极大值点，
当且仅当x＝0是h(x)的极大值点．
h′(x)＝1＋x(1)－(2＋x＋ax2)2(2(2＋x＋ax2)－2x(1＋2ax))
＝(x＋1)(ax2＋x＋2)2(x2(a2x2＋4ax＋6a＋1)).
若6a＋1＞0，则当0＜x＜－4a(6a＋1)，
且|x|＜min|a|(1)时，h′(x)＞0，
故x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＜0，则a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1＜0，
故当x∈(x1,0)，且|x|＜min|a|(1)时，h′(x)＜0，
所以x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＝0，则h′(x)＝(x＋1)(x2－6x－12)2(x3(x－24))，
则当x∈(－1,0)时，h′(x)＞0；
当x∈(0,1)时，h′(x)＜0.
所以x＝0是h(x)的极大值点，
从而x＝0是f(x)的极大值点．
综上，a＝－6(1).