Question

已知点M在椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切与椭圆右焦点F。

Answer 1

（1）圆和x轴、y轴都相切，且圆与x轴切与右焦点，不妨设圆心坐标为m（c，c），c为焦距。那么圆心坐标m在椭圆上，带入椭圆方程，为c²/a²+c²/b²=1，又有a²=b²+c²，则b²=a²-c²，带入方程，为c²/a²+c²/（a²-c²）=1，对于c²/（a²-c²）项，分子分母都除以a²，那么可以得到e²+e²/（1-e²）=1，整理得（e²）²-3e²+1=0，并根据0<e<1,e²=（3-√5）/2，再求e就不难了
（2）由题意，不妨设圆心坐标m为（√3，2），带入原方程，为3/a²+4/b²=1，c=√3，且a²=b²+c²，3个未知数3个方程，解得a²=9，b²=6，所以椭圆方程为x²/9+y²/6=1

Answer 2

（1）设椭圆左焦点为F1(-c,0)，右焦点为F2(c,0)。
连接F1M和F2M
由题意得M(c,c)
因为F1F2=2c,MF2=c
勾股得Mf1=√5c
所以2a=MF1+MF2=(√5+1)c
所以离心率e=c/a=√5-1
(2)因为三角形ABM是边长为2的正三角形，过定点M的三角形的高=√3
即c=√3
所以F1(-√3,0),F2(√3,0)
MA=MB=MF2=圆的半径=2
所以M(√3,2)
所以2a=MF1+MF2=6（距离公式）
所以b方=a方-c方=6
所以椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1