Question

在1到100这一百个自然数中，最多能挑出几个数，使得其中任意选出两个数的和都不是9的倍数？

Answer 1

被9整除的余数余数为0的数有12个，被9整除的余数为1的数有12个，余数为其它数字的各有11个。余数为0的数最多只能挑出1个数，余数为1和8、2和7、3和6、4和5的数不能同时挑出.而被9整除的余数为1的数有12个，最多，可挑出。余数为2和7、3和6、4和5的数只能挑出每对种的1种，共11*3=33个数，故最多能挑选出1＋12+33＝46个数，其中任何两个数的和都不是9的倍数。

Answer 2

解：考虑被9整除的余数分别是0、1、……8（其中余数为0表示整除的情况），则余数为1的数有12个，余数为其它数字的各有11个。易知，余数分别1、2、3、4的所有数中任取两个，其和都不是9的倍数，这样可得11×3＋12＝45（个），最多还可以加上一个余数为0的数满足条件，故最多能挑选出45＋1＝46（个）数，其中任何两个数的和都不是9的倍数。

Answer 3

考虑被9整除的余数分别为0、1、…、8(其中余数为0表示整除的情况)，则余数为1的数有12个，余数为其它数字的各有11个。易知，余数分别为1、2、3、4的所有数中任取两个，其和都不是9的倍数，这样可得到11×3＋12＝45个数，最多还可以加上一个余数为0的数满足条件，故最多能挑选出45＋1＝46个数，其中任何两个数的和都不是9的倍数。