Question

一道有关二元函数偏导题

Answer 1

D项推不出偏导数连续，偏导数连续是任意方向趋近。D只是x，y两个方向 是得不到偏导数连续的 。

Answer 2

反例，考虑如下函数: F(x,y)=x^3y^3sin(1/(xy)),xy≠0. F(x,y)=0,xy=0. 1.xy=0,显然有 Fx'(x,y)=Fy'(x,y)=0. 2.xy≠0, Fx'(x,y)=3x^2y^3sin(1/(xy))-xy^2cos(1/(xy)), Fy'(x,y)=3x^3y^2sin(1/(xy))-x^2ycos(1/(xy)). 3. xy=0,显然有 Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=0. 4. xy≠0, Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)= =9x^2y^2sin(1/(xy))-5xycos(1/(xy))-sin(1/(xy)). ==> 在R^2上,F(x,y)的二阶混合偏导数相等, 但是二阶混合偏导数不连续. 关键在于，原先是xsin(1/x)的形式，在0点附近x占主导，所以其连续且偏导数存在，可是求完偏导数之后，有sin(1/x)的单独的项，这是一个不连续的项。