Question

用初等行变换将矩阵化为行最简型矩阵？

如图

Answer 1

用初等行变换化行最简形的技巧
1. 一般是从左到右,一列一列处理
2. 尽量避免分数的运算
具体操作:
1. 看本列中非零行的首非零元
若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零.
2. 否则, 化出一个公因子
给你个例子看看吧.
例:
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4
4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
--a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*)
r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得
0 -3 3 -1 -6
1 1 -2 1 4
0 -10 10 -6 -12
0 3 -3 4 -3
--第1列处理完毕
--第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3
-- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子
-- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样:
-- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1
-- 这样会很辛苦的 ^_^
r1+r4,r3+3r4 (**)
0 0 0 3 -9
1 1 -2 1 4
0 -1 1 6 -21
0 3 -3 4 -3
--用a32把第2列中其余数化成0
--顺便把a14(下次要处理第4列)化成1
r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3)
0 0 0 1 -3
1 0 -1 7 -17
0 -1 1 6 -21
0 0 0 22 -66
--用a14=1将第4列其余数化为0
r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1
0 0 0 1 -3
1 0 -1 0 4
0 -1 1 0 -3
0 0 0 0 0
--首非零元化为1
r3*(-1), 交换一下行即得
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0
关键是要看这样处理有什么好处
若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了.
注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12.
总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理.

Answer 2

写出系数矩阵为

1 1 2 -1

2 1 1 -1

2 2 1 2 r3-r2,r2-2r1

~

1 1 2 -1

0 -1 -3 1

0 1 0 3 r1+r2,r2+r3，交换r2r3

~

1 0 -1 0

0 1 0 3

0 0 -3 4 r3/-3,r1+r3

~

1 0 0 -4/3

0 1 0 3

0 0 1 -4/3

这样就得到了行最简型矩阵

追问

行最简形矩阵可以不存在零行吗？

追答

当然可以，行最简形矩阵的概念

就是非零行的第一个非零元素全是1
且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零
是否存在零行都可以