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21题怎么做？

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Answer 1

(1)由已知抛物线的焦点F是(0，p/2)
则直线l1为y=p/2
将直线l1与抛物线联立：x²=2p•(p/2)
x²=p²，则x=±p
∴N(-p，p/2)，M(p，p/2)
由x²=2py得：y=x²/2p
求导得：y'=(1/2p)•2x=x/p
根据导数的几何意义：kMD=p/p=1
∴过点M的切线方程是y - p/2=x - p
同理过点N的切线方程是y - p/2=-(x + p)
将两个切线方程联立得：x - p/2=-x - p/2
2x=0，则x=0
将x代回：y=0 - p/2=-p/2
∵两条切线的交点D(0，-1)
∴-p/2=-1，则p=2
∴抛物线C的方程为x²=4y
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
①当直线l2斜率存在时：
设直线方程为y=kx+b
与抛物线C联立：x²=4(kx+b)
x² - 4kx - 4b=0
根据韦达定理：x1+x2=4k，x1x2=-4b
则y1y2=(kx1 + b)(kx2 + b)
=k²x1x2 + kb(x1 + x2) + b²
=-4bk² + 4bk² + b²=b²
∵kOA=(y1 - 0)/(x1 - 0)=y1/x1，
kOB=(y2 - 0)/(x2 - 0)=y2/x2
∴kOA•kOB=y1y2/x1x2
∴-1/4=b²/(-4b)，则b=1
∴x1+x2=4k，x1x2=-4
根据弦长公式：|AB|=√1+k²•|x1 - x2|
=√1+k²•√(x1 + x2)² - 4x1x2
=√1+k²•√(4k)² - 4•(-4)
=√1+k²•√16k² + 16
=√[4(1+k²)]²=4(1+k²)
∵直线l2的方程为kx-y+1=0
∴原点到直线l2的距离d=1/√k²+1
∵S△AOB=(1/2)•|AB|•d
∴4=(1/2)•4(1+k²)•1/√k²+1
2=√1+k²，解得：k=±√3
∴直线l2的方程为y=±√3x + 1
②当直线l2的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，与已知不符，舍去
综合①②得直线l2的方程为y=√3x + 1或者y=-√3x + 1

Answer 2

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