Question

关于小波变换中的频率，尺度，周期之间的关系疑问？

f=scal2frq(scals,wavename,1/fs); % 将尺度转换为频率上面代码有个疑问，我看了matlab的帮助，下图是从Matlab帮助中截的关于scal2frq()函数的解释，图中的公式的量纲我有个疑问，Fc的单位是Hz，Fa的单位也是Hz，a是无量纲单位，delta 按上面注释是sampling period，图中未标出它的单位，按照左、右的量纲统一，这个delta应该是一个无量纲的变量，而作为采样周期，显然它应该有一个单位，若它有单位，假如是s，那么，等号左、右的量纲就不统一了，请教高手赐教。

Answer 1

哇哦！这是个近年来难得的好(难)问题，也是个很有趣滴问题。个人认为delta更严谨滴注释应是The number of sampling period in S，理解为原始信号以秒为时间单位采样时，采样周期的数值。在计算时此公式中delta可看作没有量纲滴比例系数，从计算上讲同a滴作用类似。这要从这个公式滴另一种更易理解和常见滴形式说起，Fa=Fc/(a*delta)=(Fc*Fs)/a;其中Fs为原始信号采样频率（同样公式计算中Fs应理解为无量钢滴纯数字），与delta互为倒数。每一种小波滴原始标准Fc是根据小波理论确定并且固定不变。先看两种特殊情况：
当Fs和delta数值都为1时（抛去其物理意义1hz和1S，我们只是取其数值用于实现计算），则Fa=Fc/a;这表明了实际频率和原始标准Fc，随尺度a滴伸缩是如何变化滴。尺度a表示原始标准小波滴伸缩比例状态。这种关系从CWT理论上是容易理解滴，在matlab中a增大表明小波伸长，则变换完的结果其Fa频率应降低为Fc滴1/a倍。相当于小波伸长后越来越平缓，用其CWT，其结果滴实际频率理应会按1/a比例下降。
当a为1时，Fa=Fc*Fs;这点就有些难以理解了，为何原始标准小波频率乘上原始信号采样频率就是变换结果滴实际频率？这大概要从CWT实现滴意义和其实际计算方法说起。一个原始标准小波（即a为1，无伸缩）与信号S做CWT滴意义可以示意性滴认为是在S滴每一点上放置一个原始标准小波进行计算。假设信号S的delta为0.1S则Fs为10Hz，单位时间1S内将有10个点，每一点上有一个原始标准Fc的小波，假如对这单位时间1S内10个点做CWT计算，结果就是有10个Fc的小波在计算，又因为是单位时间1S，在数值上就等于了变换结果滴实际频率。因此10即可看成Fs，也可以看成有多少个原始标准Fc的小波在进行CWT（即一个倍数或可称一种比例数），只是数值上与Fs相等。
但是这样从实际计算方法上就又有一个新问题，数据量不对喽。假设某原始标准频率为Fc的小波，其数学函数的积分为N个点，对S在单位时间1S内的10个点进行CWT，其实际计算是以卷积方式进行滴，变换结果理应为10+N-1个点而不是上面所说滴10*N个点，这是由于卷积计算第一步是乘法应有10*N个点，第二步又错位相加合并了许多数据，则计算结果10+N-1个点，但其物理意义所表示滴仍是10*N个点滴综合信息，所以仍可将其结果频率理解为是10倍原始标准Fc。这里matlab在做CWT时只会保留10+N-1中间滴10点，去除卷积边界上滴多余数据，所以最终CWT小波系数个数为10。于是这单位时间1S内的10个小波系数点所表现滴实际频率可认为是10倍原始标准Fc。
咔咔，是不是很烧脑，甚至有些玄幻滴味道，这类问题是CWT应用中核心难点之一，水平有限实在难以深入浅出，凑活理解吧，没准有哪位神仙能从更简单的角度解释，多担待，抱歉，抱歉！Alles Gute!
近来想到可能滴另外一种理解，从小波理论来理解，连原始标准小波中心频率Fc也是没有量纲滴，从centfrq 函数说明中，matlab用弦函数逼近周期倒数求中心频率，但其非常清醒和专业滴在示例中没有标明单位量纲，实在值得赞叹，因为无论小波函数还是正余弦函数都应没有确定滴量纲，只有变换时，根据原始信号量纲才使小波函数具有了量纲的概念。可惜scal2frq 函数为了向一般读者简单和便于讲解才用了HZ和S这样的设定，从本质上说导致更多误解并破坏了小波理论的美感，实是大煞风景！！！便有了你这个提问，单单研究函数不需要量纲，正余弦函数没有量纲，原始标准小波函数没有量纲，所以Fc也是没有量纲滴，在上面公式中亦可当做一个系数。在CWT时与原始信号发生联系，可以认为原始小波函数这时便具有了与原始信号相同的量纲。综上，Fc是没有量纲滴；只有在CWT时，原始小波函数才被认为可以理解为具有量纲意义，且是随原始信号量纲可以变化的，而不是固定为HZ或其它量纲。因此上面公式只有采样频率有量纲，且使尺度与原始信号在实际中有了量纲滴联系，这样理解CWT中这个烧脑公式赶脚比以前解答中滴某些部分更恰当，前后两种解释对照研究更有些意思，所以未对前边解答做删改，请诸位注意选择性地理解。