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(n+1)³-n³=n³+3n²+3n+1-n³=
3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
…
2³-1³=3×1²+3×1+1，等式两边相加
(n+1)³-1³=3(1²+2²+3²+…+n²)+3(1+2+3+…+n)+n×1
3(1²+2²+3²+…+n²)=n³+3n²+3n-3×n
(n+1)/2-n
6(1²+2²+3²+…+n²)=2n³+6n²+6n-
3n²-3n-2n=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
…
2³-1³=3×1²+3×1+1，等式两边相加
(n+1)³-1³=3(1²+2²+3²+…+n²)+3(1+2+3+…+n)+n×1
3(1²+2²+3²+…+n²)=n³+3n²+3n-3×n
(n+1)/2-n
6(1²+2²+3²+…+n²)=2n³+6n²+6n-
3n²-3n-2n=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
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