Question

高等数学求单调区间简单题

第二大题里的5个小题！

Answer 1

【解析】

（1）当a=0时，化简函数f（x）=3xlnx-1并求定义域，再求导数f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；
（2）函数f（x）=ax3+3xlnx-1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=3（ax2+lnx+1），再令g（x）=ax2+lnx+1，再求导g′（x）=2ax+
1
x
=
2ax2+1
x
，从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数．
【解答】

(1)当a=0时,f(x)=3xlnx−1的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=3lnx+3=3(lnx+1)，

故f(x)=3xlnx−1在(0,1e)上是减函数,在(1e,+∞)上是增函数；

故f(x)在x=1e时取得极小值f(1e)=−31e−1；

(2)函数f(x)=ax3+3xlnx−1的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=3(ax2+lnx+1)，

令g(x)=ax2+lnx+1,则g′(x)=2ax+1x=2ax2+1x，

当a>0时,g′(x)>0在(0,+∞)恒成立，

故f′(x)=3(ax2+lnx+1)在(0,+∞)上是增函数，

而f′(1e)=3[a(1e)2+ln1e+1]=3a(1e)2>0，

故当x∈(1e,e)时,f′(x)>0恒成立，

故f(x)在区间(1e,e)上单调递增，

故f(x)在区间(1e,e)上没有极值点；

当a=0时,由(1)知,f(x)在区间(1e,e)上没有极值点；

当a
0，

又g(1e)<0，

所以g(x)在(1e,e)上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，

综上所述,实数a的取值范围是[−2e2,0).

Answer 2

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