Question

数学证明题

在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，∠DAE=45°
（1）试猜想线段BD+CE与线段DE的数量关系，并证明你的结论。
（2）过BC的中点O做FG垂直AE于点G，
交AD的延长线于点F，求证∠AFB=90°。
（3）在（2）条件下，取AC中点H，
连接HG并延长交CF于点M，
交BF延长线于点K，∠FMK=2∠MFK，
FC=8，求MK的长。

Answer 1

应补充说明D、E在BC上，且D在B、E之间。若是这样，则方法如下：

（1）问题中的BD＋CE，应该是BD、CE。即猜想BD、CE与DE的数量的关系。

取点J，使D、J在AB的两侧，且AJ＝AE、∠BAJ＝∠CAE。

由AJ＝AE、AB＝AC、∠BAJ＝∠CAE，得：△ABJ≌△ACE，

∴BJ＝CE、∠ABJ＝∠ACE。

由AB＝AC、∠BAC＝90°，得：∠ABD＝∠ACE＝45°，

∴∠DBJ＝∠ABJ＋∠ABD＝∠ACE＋∠ABD＝45°＋45°＝90°，

∴由勾股定理，有：BD^2＋BJ^2＝DJ^2，而BJ＝CE，∴BD^2＋CE^2＝DJ^2。

∵∠DAE＝45°，∴∠DAJ＝∠BAJ＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°，

∴∠DAJ＝∠DAE，又AJ＝AE、AD＝AD，∴△DAJ≌△DAE，∴DJ＝DE。

由BD^2＋CE^2＝DJ^2、DJ＝DE，得：BD^2＋CE^2＝DE^2。

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（2）

∵AB＝AC、AB⊥AC、BO＝CO，∴∠AOB＝90°。

∵∠FAG＝45°、AG⊥FG，∴∠AFO＝45°，又∠ABO＝45°，∴A、B、F、O共圆，

又∠AOB＝90°，∴∠AFB＝90°。

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（3）

易证得：AO＝CO，又AO⊥CO、AH＝CH，∴OH⊥AH，而AG⊥OG，

∴A、O、G、H共圆，∴∠FGK＝∠CAO，又易证得∠CAO＝45°，∴∠FGK＝45°。

∵A、B、F、O共圆，∴∠GFK＝∠BAO，又易证得∠BAO＝45°，∴∠GFK＝45°。

由∠FGK＝45°、∠GFK＝45°，得：∠FKG＝90°，而∠FMK＝2∠MFK，∴∠MFK＝30°。

由∠FKG＝90°、∠MFK＝30°，得：MK＝（1/2）FM。

易证得：∠AFG＝∠FGK＝45°，∴AF∥HM，又AH＝CH，∴FM＝CM，

∴2FM＝FC＝8，∴FM＝4，∴MK＝（1/2）FM＝2。

Answer 2

最简单的方法,将三角形补全为一个矩形,通过矩形的对角线相互平分且相等!

Answer 3

先要搞清楚证明三角形全等的三条定理。 边边角 角边角 和边边边。 意思分别是： 1。边边角，通过证明两个三角形的两条边和两条边的夹角相等 从而推出两个三角形全等。 2. 角边角，通过证明两个三角形的两个角和两个角所夹的那条直线相等 可以推出两个三角形 全等。 3.边边边，通过证明两个三角形的三条边都是相等的，推出两个三角形相等。 遇到不同形状的三角形 应该具体问题具体分析，比如有两个已知角是相等的 就考虑用角边角来证。如果一个角的数值都不知道，这时候就肯定要用边边边来证明。 反正只要弄懂证明的定理。。遇到什么问题 把相关的条件往定理上面套，一个定理不行就换一个 很快就能证出来的。 前提是 你有认真背定理哦~不然证明题怎么样都学不好的。