Question

定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数

A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数.
B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数.
C.若f(x)在区间A上为减函数,在区间B上也为减函数,则f(x)在A∪B上也为减函数.
D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2),(x1,x2∈I),那么x1<x2.

这是一道单选题,只有一个答案正确,答案为什么是D?请指出ABC各有什么错误?

Answer 1

在一个区间上是增函数，说的是对这个区间上“任意”的a>b,都有f(a)>f(b)
A只是说存在组这样的a b，当然不行；B是说有无穷多对，但无穷多也不能代表任意，所以也不对

至于C。f(x)=1/x在(0,正无穷),(负无穷，0)上都是减函数，但是f在这两个区间的并集上就不是减函数。比如1>-1,f(1)>f(-1)

D当然是对的。若x1>=x2,则根据f是增函数知道f(x1)>=f(x2)，矛盾！所以x1<x2

Answer 2

首先单调性要求区间内任意两点的函数值关系，不是存在，是任意
单调增等价于定义域内，任意2点x1<x2,有f(x1)<f(x2)
单调减等价于定义域内，任意2点x1<x2，有f(x1)>f(x2)
故A错，因为存在2点
x1<x2时有f(x1)<f(x2），不等于任意2点都成立
B错，因为有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),也不等价于任意，譬如若x>0时y=x-2，x<=0时y=x，这样也有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2)，但f（0）>f（1）
C错，譬如在A是[0,1],B[2,3] 定义这样的一个函数y，在A区间，y=-x+6单调减，在B区间，y=-x+100，这样的话在A∪B上，有f（1）<f（2），不满足任意2点均有f(x1)>f(x2)，故不是减函数
D正确，因为单调性函数，函数值大小关系与自变量大小关系是固定相同（单调增）或者固定相反的（单调减）

Answer 3

A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数.
错误在于“存在”两字，应该是“任意”，如：
y=x的平方，在区间(-4,1)上，存在x1=o,x2=1,满足x1<x2时有f(x1)<f(x2),但f(x)在(a,b)上不为增函数.
B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数.

同理，无穷也不对 ,无穷不代表任意。

C.若f(x)在区间A上为减函数,在区间B上也为减函数,则f(x)在A∪B上也为减函数.
不能随便并，如y=x分之一，在（-无穷，0）和（0，+无穷）皆为减函数，但是不能说在（-无穷，+无穷）上为减函数，因为取x1=-1，x2=1，有x1<x2,但f（x1）<f(x2)

Answer 4

A,你的定义就错了,不是"若存在"而是"对任意"
要保证所有都成立才是,或者加一条单调函数

B,也同样,无穷多不代表所有

C,不能保证A,B中间的空间,比如sin的[0,pi/4][3pi/4,pi]这两个区间都是增,但是和起来不是
要保证在所有定义域都满足条件

Answer 5

昏的了
注意是存在X1,X2
不是任意的X1,X2

这就是关键
想画图给你看的
有些麻烦呢
就算了
你自己想想就出来了啊

B选项也是一样

C关键是AB这两个区间是否有交集
没有交集，就不能那么肯定了

谢谢

最后
得出结论：楼主数学真的很烂