Question

用泰勒公式求极限limx→0tan（tanx）-sin（sinx）/tanx-sinx 详细过程？

Answer 1

具体回答如下：

分母 = sinx/cosx-sinx =sinx(1/cosx-1)=sinx(1-cosx)/cosx

分母是等价于 x/2的

对分子我们做等价变形

分子 = (tan(tanx)-tanx) +(tanx -sinx) +(sinx -sin(sinx))

令 p1 = lim (tan(tanx)-tanx)/(tanx -sinx)

lim (tan(tanx)-tanx)/(x³/2）

再令 f(x)=tanx

则p1的分子是 f(tanx)-f(x)=f'(c)(tanx -x)(这里用了中值定理，c在x与tanx之间)

当 x→0时，c→0，f'(c)=sec²c→1

p1 = lim (tanx-x)/ (x³/2)=2/3

p2 = lim (tanx -sinx)/(tanx - sinx)=1

p3 = (sinx -sin(sinx))/(tanx-sinx)=(sinx -sin(sinx))/(x³/2)

所以原式=p1+p2+p3 =2

极限的意义：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

sinx=x-x^3/6+o(x^3)
sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)
=x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)
=x-x^3/3+o(x^3)
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
tan(tanx)=x+x^3/3+(x+x^3+o(x^3))^3/3+o(x^3)
=x+2/3 x^3+o(x^3)
tanx-sinx=x^3/2+o(x^3)
所以求极限
=lim(x-->0)(x^3+o(x^3))/(x^3/2 x^3-o(x^3))
=2.
大概过程就是如此，满意请采纳，

追问

x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)

这一步咋来的啊

追答

sinx=x-x^3/6+o(x^3) 是这个
sin(sinx)就是把上面的x用sinx带进去啊。
sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)
这里的sinx再用x-x^3/6+o(x^3) 带进去

Answer 4