求解一道高数微分方程题
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你好，具体解题过程如图所示，首先用换元法将括号内的式子转化一下，然后就是用非齐次线性微分方程求解，最后一步运用分布积分法
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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令y=x-t，则dy=-dt
f(x)=sinx+∫f(y)dy （积分范围x→0）
f(x)=sinx-∫f(y)dy （积分范围0→x）
两边同时求导得
f'(x)=cosx-f(x)
令g(x)=f(x)-(sinx+cosx)/2，则
g'(x)=f'(x)-(cosx-sinx)/2=(sinx+cosx)/2-f(x)=-g(x)
dg(x)/dx=-g(x)
dg(x)/g(x)=-dx （两边同时积分）
ln|g(x)|=-x+C1
g(x)=C*e^-x
其中C，C1为常数
所以
f(x)=C*e^-x+(sinx+cosx)/2
因为
f(0)=0-0=0
所以
C+1/2=0
C=-1/2
所以
f(x)=-1/2*e^-x+(sinx+cosx)/2
f(x)=sinx+∫f(y)dy （积分范围x→0）
f(x)=sinx-∫f(y)dy （积分范围0→x）
两边同时求导得
f'(x)=cosx-f(x)
令g(x)=f(x)-(sinx+cosx)/2，则
g'(x)=f'(x)-(cosx-sinx)/2=(sinx+cosx)/2-f(x)=-g(x)
dg(x)/dx=-g(x)
dg(x)/g(x)=-dx （两边同时积分）
ln|g(x)|=-x+C1
g(x)=C*e^-x
其中C，C1为常数
所以
f(x)=C*e^-x+(sinx+cosx)/2
因为
f(0)=0-0=0
所以
C+1/2=0
C=-1/2
所以
f(x)=-1/2*e^-x+(sinx+cosx)/2
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