Question

如何理解二元函数可微，不一定偏导数连续?

下图中说的函数，在(0,0)点偏导数存在并可微我理解，但是为何（0，0）点偏导数不连续了?课本上说偏导数在某点连续就是在这点的临域内偏导数存在，下图的这个函数在(0,0)的临域内明显有偏导数啊，明显偏导数是连续的，为何他说偏导数是不连续的?

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Answer 1

1.对于题目给定的二元函数，首先考察偏导数在点(0,0)是否连续。可以证明在原点(0,0)处，两个偏导数都不连续，但是f(x，y)在原点(0,0)处却是可微的，从而得出偏导数连续是多元函数可微的充分条件而不是必要条件。证明过程如下:

Answer 2

第二问其实跟第一问一样，都是偏导存在但不连续。考虑例子： f(x,y)＝(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)),当x^2+y^2>0时； f(x,y)＝0,当x^2+y^2＝0时. 这个函数偏导数在(0,0)不连续,但是可微.

追问

为何不连续?在(0,0)偏导存在，（0，0）临域里也偏导数存在，偏导数都存在不就是偏导数连续吗?

Answer 3

偏导函数连续不是说在邻域内偏导数存在，而是说在领域内偏导数存在且等于偏导函数极限值（函数值等于极限值）你对课本上那句话理解有误