Question

如何理解二元函数可微，不一定偏导数连续?

下图中说的函数，在(0,0)点偏导数存在并可微我理解，但是为何（0，0）点偏导数不连续了?课本上说偏导数在某点连续就是在这点的临域内偏导数存在，下图的这个函数在(0,0)的临域内明显有偏导数啊，明显偏导数是连续的，为何他说偏导数是不连续的?

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Answer 1

1.对于题目给定的二元函数，首先考察偏导数在点(0,0)是否连续。可以证明在原点(0,0)处，两个偏导数都不连续，但是f(x，y)在原禅孙唯点(0,0)处却是可微的，从而得出偏导数连续是多元函数可微的充分凯判条件而不是必贺培要条件。证明过程如下:

Answer 2

第二问其实跟第一问一样，都是偏导存在但不连续。考虑例子： f(x,y)＝(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)),当兄芹码x^2+y^2>0时； f(x,y)＝0,当x^2+y^2＝0时. 这个函数偏导羡哪数在(0,0)不首谈连续,但是可微.

追问

为何不连续?在(0,0)偏导存在，（0，0）临域里也偏导数存在，偏导数都存在不就是偏导数连续吗?

Answer 3

偏导函数连续不是说唤州在邻域内偏导数存在，而是说在领域内偏导数存在且等亩链盯于偏导函数极限迅和值（函数值等于极限值）你对课本上那句话理解有误