Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x)及f(x)=-f(-x),且在[0,1]上有f(x)=x^2,则f(4039/2)=？

A.9/4 B.1/4 C.-9/4 D.-1/4

Answer 1

因为f(x)=f(2-x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=f(2+x)，所以f(x)=-f(x+2)，又f(x+2)=-f[(x+2)+2]=-f(x+4)=f[2-(x+2)]=f(-x)，即有-f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x)=f(x+4)，所以有该函数的周期为4，又有f(4039/2)=f(3.5+504×4)=f(3.5)=f(-0.5+4)=f(-0.5)，因为f(x)=-f(-x)，所以f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5²=-1/4，这道题主要是求解函数的周期，然后用周期函数的性质求解。

Answer 2

(1)f(-x)=-f(x),f(0)=0
当x∈(0,1)时f(x)=2∧x/(4∧x+1)
当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1)
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)=-2^x/(4^x+1)
(2)任取1>x1>x2>0 2^x1-2^x2>0 1-2^(x1+x2)<0
f(x1)-f(x2)=2^x1/(4^x1+1)-2^x2/(4^x2+1)=(2^x1*4^x2+2^x1-2^x2*4^x1-2^x2)/(4^x1+1)(4^x2+1)
=(2^x1-2^x2)(1-2^(x1+x2))/(4^x1+1)(4^x2+1)
<0
f(x)在区间（0，1）上递减，由奇函数定义知在区间（-1，0）上递减，
（3）u=0时显然有解，解为x=0
0<x<1时，f(x)=u,令t=2^x>0
2^x/(4^x+1)=u>0
t/(t^2+1)=u
ut^2+u=t
ut^2-t+u=0
关于t的方程有实根，判别式大于等于零，即：
1-u^2>=0
又因为u>0
所以有：0<u<1
-1<x<0时，同理可得：-1<u<0

追问

昂……这题是要求一个值……