Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1/3）=1

（1）求f（1）的值

(2）如果f（x）+f（2-x）小于2,求X的取值范围

Answer 1

令x=y=1
则xy=1
f（xy）=f（x）+f（y）
所以f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

f(x)+f(2-x)<2
f(x)+f(y)=f(xy)
所以f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]
f(1/3)=1
2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/3*1/3)
所以f[x(2-x)]<f(1/3*1/3)
f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数
所以x(2-x)>1/3*1/3
x^2-2x+1/9<0
9x^2-18x+1<0
所以(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3
且有定义域x>0
所以(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3

Answer 2

(1）令x=y=1,f(1)=f(1)+f（1）
f(1)=0
(2)令x=y=1/3,f(1/9)=2f(1/3）=2
f（x）+f（2-x）<2,
f(2x-x^2)<f(1/9）
由题意，x>0且2-x>0且2x-x^2>1/9
解得(3-2√2)/3<x<(3+2√2)/3