Question

如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,点P为椭圆上动点

Answer 1

（1）设点P(p,q),
F1(-3,0),
F2(3,0)
则当PF1⊥F1F2时，有p=x(F1)=-3
点P(p,q)在椭圆上，则有
p^2/a^2+q^2/b^2=1
(1)
PF2直线方程为
y=q/(p-3)*(x-3)，即qx-(p-3)y-3q=0
点O到PF2的距离为
d=|-3q|/√[q^2+(p-3)^2]=24/17
(2)
联立(1)(2)，并代入p=-3，可解得
a^2=25,
b^2=16
∴椭圆方程为
x^2/25+y^2/16=1
（2）设点P(m,n),
A(u,v),
B(s,t);
F1(-c,0),
F2(c,0)
则有向量PF1=(-c-m,-n),
F1A=(u+c,v);
向量PF2=(c-m,-n),
F2B=(s-c,t)
已知向量PF1=λ1F1A,
PF2=λ2F2B，则
=>
-c-m=λ1(u+c),
-n=λ1v
c-m=λ2(s-c),
-n=λ2t
点P,A,B均在椭圆上，代入椭圆得
m^2/a^2+n^2/b^2=1
u^2/a^2+v^2/b^2=1
s^2/a^2+t^2/b^2=1
=>
u=[-(1+λ1)c-m]/λ1,
v=-n/λ1
s=[(1+λ2)c-m]/λ2,
t=-n/λ2
=>
{[-(1+λ1)c-m]/λ1}^2/a^2+(-n/λ1)^2/b^2=1
{[(1+λ2)c-m]/λ2}^2/a^2+(-n/λ2)^2/b^2=1
=>
[(1+λ1)c]^2/a^2+2m(1+λ1)c/a^2+1-λ1^2=0
[(1+λ2)c]^2/a^2-2m(1+λ2)c/a^2+1-λ2^2=0
=>
(1+λ1){(1+λ1)c+2mc+a^2(1-λ1)}=0
(1+λ2){(1+λ2)c-2mc+a^2(1-λ2)}=0
PF1,
F1A同向，∴λ1>0；同理，PF2,
F2B同向，λ2>0
=>
1+λ1>0,
1+λ2>0
=>
(1+λ1)c+2mc+a^2(1-λ1)=0
(1)
(1+λ2)c-2mc+a^2(1-λ2)=0
(2)
=>
(2+λ1+λ2)c+a^2[2-(λ1+λ2)]=0
(1)(2)两式相加
=>
(a^2-c)(λ1+λ2)=2(a^2+1)
=>
λ1+λ2=(a^2+1)/(a^2-c)
a,c均为定值，可知λ1+λ2为定值
=>
λ1+λ2=13/11
代入a=5，c=3，计算λ1+λ2数值