已知a,b,c为三角形ABC三边的长,b/a+c/b+a/c=3时,三角形ABC为______三角形,要过程

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区馨香委舒
2020-04-08 · TA获得超过3万个赞
知道大有可为答主
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等边三角形.
由均值不等式可得
B/A+C/B+A/C>=3倍3次根号下[(B/A)*(C/B)*(A/C)]=3
而等号成立的条件是B/A=C/B=A/C
即A=B=C
而已知B/A+C/B+A/C=3,所以A=B=C
=================================================
由不等式A^2+B^2>=2AB,B^2+C^2>=2BC,C^2+A^2>=2AC三式我们可知道他们成立的前提是当且仅当A=B,B=C,C=A。于是我们可对三式两端分别除以AB,BC,CA得到
A/B+B/A>=2
B/C+C/B>=2
C/A+A/C>=2
于是三式相加,可得到
(A+C)/B+(B+C)/A+(B+A)/C>=6
由因为B/A+C/B+A/C=3,代入上式可得
A/B+C/A+B/C>=3
我们将上式B与C互换得
A/C+B/A+C/B>=3
对照B/A+C/B+A/C=3,我们可知当且仅当A=B=C的条件下,已知式成立,因此唯有
A=B=C
得证。
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