Question

已知a，b，c为三角形ABC三边的长，b/a+c/b+a/c=3时，三角形ABC为______三角形，要过程

Answer 1

等边三角形.
由均值不等式可得
B/A+C/B+A/C>=3倍3次根号下[(B/A)*(C/B)*(A/C)]=3
而等号成立的条件是B/A=C/B=A/C
即A=B=C
而已知B/A+C/B+A/C=3，所以A=B=C
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由不等式A^2+B^2>=2AB，B^2+C^2>=2BC,C^2+A^2>=2AC三式我们可知道他们成立的前提是当且仅当A=B,B=C,C=A。于是我们可对三式两端分别除以AB,BC,CA得到
A/B+B/A>=2
B/C+C/B>=2
C/A+A/C>=2
于是三式相加，可得到
（A+C)/B+(B+C)/A+(B+A)/C>=6
由因为B/A+C/B+A/C=3，代入上式可得
A/B+C/A+B/C>=3
我们将上式B与C互换得
A/C+B/A+C/B>=3
对照B/A+C/B+A/C=3，我们可知当且仅当A=B=C的条件下，已知式成立，因此唯有
A=B=C
得证。