Question

利用三重积分计算曲面z=6-x2-y2与z=x2+y2所围成的立体的体积

Answer 1

极坐标求解
围成区域z1在上z2在下
z1=√(x²+y²),z2=x²+y²
令z1=z2
√(x²+y²)=x²+y²
即r=r²
r=0,r=1
极坐标下d在xoy平面投影可标示为
0≤θ≤2π,0≤r≤1
体积
v=∫∫(d)(z1-z2)dv
=∫(0,2π)dθ∫(r-r²)rdr
=2π∫(r²-r^3)dr
=2π[(1/3)r^3-(1/4)r^4]|(0,1)
=π/6

Answer 2

设所围成的立体为Ω，则Ω的上半曲面是抛物面，下半曲面是开口向上的锥面，因此，宜用柱面坐标计算，
又由
z＝6?x2?y2
z＝
x2+y2
?交线
x2+y2＝4
z＝2
，
Dxy：x2+y2≤4，而r≤z≤6-r2
所以V=
∫∫∫
Ω
dV=
∫
2π
0
dθ
∫
2
0
rdr
∫
6?r2
r
dz=
32
3
π．