Question

证明算术平均值大于等于几何平均值大于等于调和平均值

Answer 1

引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an
)／n)^n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak
)／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2
，…，a(k＋1)中最大者，则
k
a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，
{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)
＝{s/k＋[k
a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)
≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k
a(k＋1)－s]／k(k＋1)
用引理
＝(s／k)^k*
a(k＋1)
≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

Answer 2

an>0
(a0+a1+a2+...+an)/2>=根号(a0a1a2...an)
n=1时，即证(a0+a1)/2>=根号(a0a1)
根据基本不等式，a0+a1>=2根号（a0a1)
(a0+a1)/2>=根号(a0a1)
n=k时，（a0+a1+...+ak)/2>=根号（a0a1...ak)成立
要证明(a0+a1+...+ak+a(k+1))/2>=根号(a0a1...aka(k+1))
令a0+a1+...+ak=t
a0a1...ak=n
k+a(k+1)>=2根号(k*
要证明(a0+a1+...+ak+a(k+1))/2>=根号(a0a1...aka(k+1))
(a0+a1+...+ak）+a(k+1)>=2根号(a0+a1+...+ak)*a(k+1))
(a0+a1+...+ak)a(k+1)>=2根号（a0a1...ak)*a(k+1)>=2根号(a0a1...aka(k+1))
因此算术平均值大于等于几何平均值
好象错了....
你还是看看这个网页吧
http://www.bmrtvu.com:81/media_file/rm/ip2/2002_5_27/gdds/gdds6/htm/gdds525.htm