Question

如图，在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠D和∠B互补.

Answer 1

证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BAC＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∵∠CAD＝∠BAC（已知），
∴∠CAD＝∠ACD（等量代换），
∴AD＝CD（等角对等边），
∵∠D＋∠B＝180°（已知），
且∠BAD＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BAD＝∠B（等量代换），
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AD＝BC（等腰梯形两腰相等），
∴BC＝CD（等量代换），
证毕。

Answer 2

在AB上取一点E，使AE=AD
∵AC平分∠BAD（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线定义）
在△DAC和△EAC中
AE=AD（已作）
∠DAC=∠EAC（已知）
AC=AC（公共边）
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴∠D=∠CEA（全等三角形对应角相等）
CD=CE（全等三角形对应边相等）
∵∠CEA+∠CEB=180°（平角定义）
∴∠D+∠CEB=180°（等量代换）
∵∠D+∠B=180°（已知）
∴∠CEB=∠B（同角的补角相等）
∴CE=CB（等角对等边）
∴CD=CB（等量代换）