Question

设f(x)在[-π,π]上连续,且满足f(x)=x/(1+cos²x)+∫(上限π,下限-π)f(x)sinxdx,则f(x)=

Answer 1

设∫<-π,π>
f(x)
sinx
dx=
C
那么f(x)
=
x/(1+cos^2x)
+
C
代入得
∫<-π,π>
x/(1+cos^2x)
sinx
dx
=
C
所以
2C
=
∫<0,π>
x/(1+cos^2x)
sinx
dx
设
f(x)
=
1/1+x^2
利用
∫<0,π>xf(sin
x)dx=π/2∫<0,π>f(sin
x)dx
得
C
=
π/2
∫<0,π>
1/(1+cos^2x)
sinx
dx
=
π^2/4
所以f(x)
=
x/(1+cos²x)
+
π^2/4

Answer 2

令a=∫[0,π]f(x)sinxdx
注意定积分是数值
f(x)=1/(1+cos^2x)+a
两边同乘sinx得f(x)sinx=sinx/(1+cos^2x)+asinx
两边在[0,π]积分得∫[0,π]f(x)sinxdx=∫[0,π]
[sinx/(1+cos^2x)+asinx]dx
a=∫[0,π]
[sinx/(1+cos^2x)+asinx]dx
=[-arctancosx-acosx]
[0,π]
=π/2+2a
a=-π/2
f(x)=1/(1+cos^2x)-π/2

Answer 3

求到不会求的时候，用区间再现公式