Question

计算行列式：Dn=|1+a，a...a;a，1+a...a；a，a...1+a|麻烦附上过程呀！谢谢了！

Answer 1

把第一行拆分为
(1+a,
a,
a,
....,
a)
=
(1,0,0,....,0)
+
(a,a,a,....,a)
用行列式的性质，有：
Dn=|1,0,0,....,0;
a，1+a...a；a，a...1+a|
+
|a,a,a,....,a;
a，1+a...a；a，a...1+a|
|1,0,0,....,0;
a，1+a...a；a，a...1+a|
很容易展开，就是
D(n-1),
下面展开
|a,a,a,....,a;
a，1+a...a；a，a...1+a|
。
令
A(n-1)=
(a,a,....,a)
(n-1
个a)
，这样
|a,a,a,....,a;
a，1+a...a；a，a...1+a|
可以分块写成
|a
A(n-1)；
A‘(n-1)
D(n-1)
|
其中
A‘(n-1)
是A(n-1)的转置。
对这个行列式，用第二行减去地一行，行列式的值不会变。但是，第二行除了a(2,2)是
1
以外，其余都变成0，所以可以展开第二行，这样，就把行列式降了一阶，变成
|a,a,a,....,a;
a，1+a...a；a，a...1+a|
=
|a
A(n-1)；
A‘(n-1)
D(n-1)
|
=
|a
A(n-2)；
A‘(n-2)
D(n-2)
|
这个行列式与上一个完全相似，也可以应用上面的方法再降一阶，如此重复不断，最后得到
|a,a,a,....,a;
a，1+a...a；a，a...1+a|
=
|a
A(n-1)；
A‘(n-1)
D(n-1)
|
=
|a
A(n-2)；
A‘(n-2)
D(n-2)
|
=
|a
A(n-3)；
A‘(n-3)
D(n-3)
|
=.........=
|a
A1；
A‘1
D1
|
=
|a
a;
a
1+a|
=
a
所以，最后有递推关系
Dn
=
D(n-1)
+
a，
这样，
最后有：
Dn
=
D(n-1)
+
a
=
D(n-2)
+
2a
=
D(n-3)
+
3a=......=D1
+
(n-1)a
=
1+
a
+
(n-1)a
=
na
+
1
哦，打字好累啊，给点分吧。
谢谢。
^_^

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

1+a
a...a
a
1+a...a
...
...
a
a...1+a
c1+c2+...+cn
(所有列加到第1列)
1+na
a...a
1+na
1+a...a
...
...
1+na
a...1+a
ri-r1,
i=2,3,...,n
(所有行减第1行)
1+na
a...a
0
1...0
...
...
0
0...1
(上三角)
行列式
=
1+na
#
满意请采纳^_^