Question

1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+......+n^n=? 数列求和 n的n次方 怎么做？

Answer 1

我算出了，不过很长。我给你说下思路，先分别算：i从1到n对i^k求和，及k从1到n对i^k求和，前者把k当做不变，后者把i当成不变。前者你可以用公式(1+x)^(k+1）=二项式公式展开。然后把x分别取1到n的到n个等式，等式两边相加，组合移项可得到前者，(用排列符表示的)，对于后者是个等比数列，两个问题解决后，将(i，k)=i^k排成一个n×n矩阵，对角线元素之和即为所求，矩阵所有元素之和用上面证出的公式表式出来，同样将其上三角元素和下三角元素表示出来，(同样用那两个公式）然后一减答案就出来了，
同学这个题的难点在于求前n个元素k次方的和，不过还是能算的。由于手机有些字符没法写，思路就是这样

Answer 2

设S(n)=1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+......+n^n,
则S(n+1)=1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+......+n^n+(n+1)^(n+1).
所以
S(n+1)-S(n)=n^2+2n+1,
……(1)
所以可以设S(n)=an^3+bn^2+cn+d,
S(n+1)=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)+d;
S(n+1)-S(n)=3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c),
……(2)
由（1）（2）得a=1/3,b=1/2,c=1/6
将a，b，c代入后任取一个（n，S(n)），求出d=0；
所以
S(n)=1/6(2n+1)(n+1).

Answer 3

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
……
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
请指教，解答完毕！！！！