Question

关于反三角函数为何是多值函数的问题……

Answer 1

呵呵，看得出来LZ是经过自己思考的，这很好~~
按照中学里
反函数
的定义，LZ的理解基本正确！只是"1"有一点小问题：f有反函数的充要条件是f为
单射
，并不一定f严格单调。如果定义在某区间上的函数f连续，那么f为单射等价于f严格单调。如果f不连续，那么f有反函数未必需要f严格单调。
除此之外，2,
3,
4都是正确的。在严格的函数意义下，
三角函数
整体不是单射，无反函数。三角函数限定在一个
单调区间
内形成了一个新函数，
反三角函数
是指这个新函数的反函数。由于
原函数
是单调的，反三角函数确实也是单调的。
当然，以上讨论限制在严格的函数概念上。书上说的意思是允许考虑所谓“
多值函数
”，这里要注意，多值函数不是严格意义上的函数，因为一个
自变量
可能应该到多于一个的
函数值
。
用映射的语言说，f:A->B是个
满射
.
如果f不单，那么f逆不是映射。但是如果对任意y∈B，定义f^(y)={x∈A:
f(x)=y},
尽管f^未必是映射，还是可以把f^称为B->A的一个“多值函数”，这时f^在某点处的值可能并不是一个数而是一个集合。“多值函数”实际是函数概念的一种推广。
以f(x)=sinx,
x∈R为例。它不是单射，无严格意义下的反函数，因为对y∈[-1,1],
满足sinx=y,
x∈R的x不止一个。但在上面所说的“多值函数”意义下，f可以有反函数f^,
f^在某点取值为一个
数集
，例如f^(0)={kπ:
k为整数}.
简单来说，你的理解基本没问题。书上这样说是因为它考虑了多值函数，这已经超出了严格意义上的“函数”概念，是一种推广的函数。

Answer 2

你搜一下反三角函数图像，在点正负π/2处，反三角函数数值趋于无穷，周期是π，在相应区间为单调函数。在正负π/2区间，三角函数正好单调。
2、3正确
单调和多值是两个概念，我学的时候没涉及到多值这个概念，所以我觉得，应为反三角函数在相应区间单调，在周期点趋于无穷，所以对应的函数值是无穷多个，即指多值