Question

判断下列向量集合是否构成R的三次方的子空间

Answer 1

把F中的式子化简一下得：F={(x,y,z)∈R^3,x+y=0}
F的一组基是β=(1
-1
0)
我先用定义证明：
R^3的一组标准正交基:α1=(1
0
0),α2=(0
1
0),α3=(0
0
1)
1）F中的任意非零向量可以表示为γ=kβ=kα1-kα2+0α3,即F中所有向量可由R^3的基线性表出.
2）在F中任意取两个向量γ1=k1β,γ2=k2β,k1,k2不都为零
则γ1+γ2=k1β+k2β=(k1+k2
-k1-k2
0)=(k1+k2)α1+(-k1-k2)α2+0α3,即F中任意两个向量的加法运算可以用R^3的基线性表出.
3）将kγ=k^2α1-k^2α2+0α3,即F中任意向量的数乘运算可以用R^3的基线性表出.
所以F是R^3的子空间.
不过也可以直观的看到,F的空间其实就是一条直线x+y=0
显然它是R^3的一个子空间.不过万一考试考到,还是要用上面的定义来证明.