Question

可降阶的高阶微分方程里 介绍了一种方法 在y''＝f(x)的两端乘上2y'

Answer 1

首先，y''可以写成d(y')/dx，假如说y是x的函数，那么方程化为2d(y')/dx*y'=2f(y)*y'
分离变量，得到2y'd(y')=2f(y)y'dx=2f(y)dy
然后就是d[(y')^2]=2d[F(y)]，再比上dx就得到(y'^2)'＝2[F(y)]'了

Answer 2

一楼道理是对的，说的可能简单了些，以下是更详细的解释
说白了全部都是链式法则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)
(此处f'(g(x))的意思是先求f'(z),再把z=g(x)代入)
构造y'*y''的原因是
(y')^2=g(h(x)),此处g(z)=z^2,h(x)=y'(x)
所以由链式法则
注意g'(z)=2z
[(y')^2]'
=[g(h(x))]'
=g'(h(x))
*h'(x)
=2h(x)*h'(x)
=2*y'(x)*y''(x)
而
注意y=y(x)
[F(y)]=F(y(x))
由链式法则
[F(y)]‘=F'(y(x))*y'(x)
由原函数定义，F'(z)=f(z)
所以
[F(y)]‘=F'(y(x))*y'(x)
=f(y)*y'
其实都是逆向思维，凑微分
如有疑问请追问