求这个简单的常微分方程的通解
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解:
特征方程:s^2-1=0,s=±1
通解部分:
y1=Ae^x+Be^(-x)
设特解为y2=(ax+b)e^(cx)
带入有:
x>0时:
(c^2)(ax+b)e^(cx)+(ac)e^(cx)+(ac)e^(cx)-(ax+b)e^(cx)=e^x
c=1,a=1/2,b任意
特解为:
y2=(1/2)xe^x+be^x
综上所述，原方程的解为:
y=y1+y2=(1/2)xe^x+Ae^x+Be^(-x)(x>0)
特征方程:s^2-1=0,s=±1
通解部分:
y1=Ae^x+Be^(-x)
设特解为y2=(ax+b)e^(cx)
带入有:
x>0时:
(c^2)(ax+b)e^(cx)+(ac)e^(cx)+(ac)e^(cx)-(ax+b)e^(cx)=e^x
c=1,a=1/2,b任意
特解为:
y2=(1/2)xe^x+be^x
综上所述，原方程的解为:
y=y1+y2=(1/2)xe^x+Ae^x+Be^(-x)(x>0)
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