Question

一道高中数列问题

Answer 1

1)b=2时,
2An-2^n=Sn①
n>1时
2A(n-1)-2^(n-1)=S(n-1)②
①-②得
2An-2A(n-1)-2^n+2^(n-1)=Sn-S(n-1)
∴2An-2A(n-1)-2^(n-1)=An,
An=2A(n-1)+2^(n-1)=2An(n-1)+[n-(n-1)]2^(n-1)
∴An-n*2^(n-1)=2A(n-1)+(n-1)*2^(n-1)=2[A(n-1)-(n-1)*2^(n-2)]
即[An-n*2^(n-1)]/[A(n-1)-(n-1)*2^(n-2)]=2
∴{An-n*2^(n-1)}是等比数列
2)bAn-2^n=(b-1)Sn③
n=1时,
bA1-2=(b-1)A1,
∴A1=2
n>1,
bA(n-1)-2^(n-1)=(b-1)S(n-1)④
③-④得
bAn-bA(n-1)-2^n+2^(n-1)=(b-1)Sn-(b-1)S(n-1)
∴bAn-bA(n-1)-2^(n-1)=(b-1)An,
An=bA(n-1)+2^(n-1)
两边同除
b^n得
An/b^n=A(n-1)/b^(n-1)+2^(n-1)/b^n
∴A(n-1)/b^(n-1)=A(n-2)/b^(n-2)+2^(n-2)/b^(n-1),
……,
A2/b^2=A1/b+2^1/b^2
叠加得
An/b^n=A1/b+[2^1/b^2+……+2^(n-2)/b^(n-1)+2^(n-1)/b^n]
∴n=2时,
An/2^n=A1/2+(1/2+1/2+……+1/2)=1+(n-1)/2=(n+1)/2,
An=(n+1)*2^(n-1)
n≠2时,
An/b^n=2/b+2/b^2[1-(2/b)^n]/(1-2/b)=2/b+(2/b)*[1-(2/b)^n]/(b-2)
此时An=2*b^(n-1)+2(b^n-2^n)/b(b-2)=2[b^(n+1)-b^n-2^n]/b(b-2)
综上,b=2时,An=(n+1)*2^(n-1);
b≠2时,An=2[b^(n+1)-b^n-2^n]/b(b-2)