Question

求解二阶微分方程y''+y'+y=x的通解

Answer 1

求解二阶微分方程y''+y'+y=x的通解
解：先求y''+y'+y=0的通解：
其特征方程r²+r+1=0的解为r=(-1±i√3)/2；
故其通解为y=[e^(x/2)][C₁cos(√3/2)x+C₂sin(√3/2)x]
设其特解为y*=a+bx；
y*'=b；y*''=0；代入原式得b+a+bx=x，故b+a=0，b=1，a=-1；
即特解y*=x-1；
于是得原方程的通解为y=[e^(x/2)][C₁cos(√3/2)x+C₂sin(√3/2)x]+x-1.

Answer 2

解法1：
1，先求齐次方程y'-y=0的通解
y'=y
dy/y=dx
lny=x+c'
y=e^(x+c')=ce^x
记为y1
2，求y'-y=x的一个特解
这题比较简单可以直接看出y*=-x-1
3,组解y=y1+y*=ce^x-x-1
解法2：
令u=y+x+1,则u'=y'+1
u'-1-u+1=0
u'-u=0
u=ce^x
y=ce^x-x-1