Question

高数，不定积分中第二类积分换元法，如图，为什么dx＝2tdt

Answer 1

3.利用第二类换元法化简不定积高模分的关键仍然是选择适当的变换公式
x
=
φ(t).两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分.由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分.
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b）,可直接令
t
=√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2）,令
x
=
asint
被积函数含根式√(a^2+x^2）,令
x
=
atant
被积函数含根式√(x^2-a^2）,令
x
=
asect
注：记住三角形示意卖粗图可为变量还原提供方便.
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令
x
=
1/t）：设m,n
分别为被积函数的分子、分母关于x
的最高次数,当
n-m＞1时,用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数中念镇由指数
a^x
所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式,可令
t
=
tan(x/2)

Answer 2

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