Question

二重积分计算问题？

题目是右图，左图中箭头处 将积分元素x替换为t的过程是怎样的，以及积分上限的变化，求大佬给出详细过程 谢谢

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Answer 1

这一步就是做换元法，设x=a(t-sint),而由 {x=a(t-sint),y=a(1-cost)}所确定的y是x的函数 y(x) 一定是 y(a(t-cost))=a(1-cost)。注意，这里y(x)是被积函数，所以积分就是将x=a(t-sint),y=a(1-cost)代入积分表达式中。
再例如：
半径为a的圆周，直角坐标方程为x²+y²=1，参数方程为：x=acost,y=asint.
y=√(1-x²),如果设x=acost,则y=√(1-x²)=y=√(1-(acost)²)=asint
只不过所给摆线方程我们不能明确的给出y(x)的具体形式，但做x=a(t-sint)这个变换后，y(x)变成 t 的函数就是 y=a(1-cost)。
因为是做x=a(t-sint)换元，所以x从0到2πa, t 就是从0到2π, 这是由x=a(t-sint)决定的。