Question

怎样证明非齐次线性方程组（系数矩阵秩=0）解向量与特解构成的向量组线性无关，谢谢

Answer 1

应该是:
非齐次线性方程组的特解与其导出组的基础解系构成的向量组
线性无关
设β是非齐次线性方程组AX=b的特解,
α1,...,αs
是AX=0的线性无关的解
若
kβ+k1α1+...+ksαs=0
等式两边左乘A得
kAβ
=
0
即
kb
=
0
因为b是非零向量,
所以
k
=
0
所以
k1α1+...+ksαs=0
再由α1,...,αs
线性无关
知
k1=...=ks=0
所以向量组
β,α1,...,αs
线性无关

Answer 2

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1=（2,3,4,5）t（此向量是列向量，后同）；η2+2η3=（3,4,5,6）t，求该方程组的通解。
解:
因为四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3
所以其导出组的基础解系含
4-3
=
1
个向量.
由齐次线性方程组的解与其导出组的解的性质知
η1川处贬肺撞镀鳖僧搏吉-η2,η1-η3
都是导出组的解.
所以
(η1-η2)+2(η1-η3)
=
3η1
-
(η2+2η3)
=
3(2,3,4,5)^t
-
(3,4,5,6)^t
=
(3,5,7,9)^t
是导出组的解.
故该方程组的通解为
(2,3,4,5)^t
+
c(3,5,7,9)^t.