Question

四阶行列式如何展开？展开后是什么样的式子？

Answer 1

四阶行列式变成两个行列式相加。展开如下：

前者按照最后一行展开为行列式d(n-1)，后者先从最后一行提取公因子an，再把最后一行分别乘以－a1，－a2，－a3，……，－a(n-1)加到第一行，第二行，第三行，……，第n-1行，化成一个n阶下三角行列式，对角线元素是1，1，1，……，1，an，所以结果是an^2。

所以，dn＝d(n-1)＋an^2，又d1＝a+a1^2，d2＝a＋a1^2＋a2^2，所以dn＝d(n-1)＋an^2＝d(n-1)＋a(n-1)^2＋an^2＝……＝d1＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2＝1＋a1^2＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2。

n阶行列式的性质：

性质1 行列互换，行列式不变。

性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。

性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

Answer 2

方法：递推法
记所求行列式为dn
最后一行拆分为：0
0
0
……1
和
ana1
ana2
ana3
……an^2
这样行列式变成两个行列式相加，前者按照最后一行展开为行列式d(n-1)，后者先从最后一行提取公因子an，再把最后一行分别乘以－a1，－a2，－a3，……，－a(n-1)加到第一行，第二行，第三行，……，第n-1行，化成一个n阶下三角行列式，对角线元素是1，1，1，……，1，an，所以结果是an^2
所以，dn＝d(n-1)＋an^2
又d1＝a+a1^2，d2＝a＋a1^2＋a2^2，所以
dn＝d(n-1)＋an^2＝d(n-1)＋a(n-1)^2＋an^2＝……＝d1＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2＝1＋a1^2＋a2^2＋a3^3＋……＋an^2

Answer 3

按【行列式展开定理】，4阶行列式展开成低一阶的三阶行列式时，有四个分行列式；继续【展开】下去，每个3阶行列式可以【展】成3个2阶行列式；每个2阶行列式可以【展】成2项。所以全部展开后共有
4！=24项——和定义描述的相同！
D4=a11A11+a12A12+a13A13+a14A14
=a11M11-a12M12+a13M13-a14M14