Question

已知三角形ABC的面积是1平方厘米,如图,AD=DE=EC,BG=GF=FC,求图中阴影部分的面积

Answer 1

设BD分别交AG和AF于P和Q，BE分别交AG和AF于P和Q
如图，△ABC被分为9个部分，设△ABD里的三个部分的面积从左到右分别为a、b、c，△BDE里的三个部分的面积从左到右分别为d、e、f，△BCE里的三个部分的面积从左到右分别为g、h、i，阴影部分的面积就是h。
显然有
a+b+c=1/3
d+e+f=1/3
g+h+i=1/3
a+d+g=1/3
b+e+h=1/3
c+f+i=1/3
AG交△BCD于A、M、G，由梅涅劳斯定理，
BM/MD
*
DA/AC
*
CG/GB
=
1
BM/MD
*
1/3
*
2/1
=
1
BM/MD=3/2
a/(b+c)=BM/MD=3/2
又a+b+c=1/3，所以b+c=1/3
-
a
所以a/(1/3
-
a)=3/2
a=1/5,
AF交△BCD于A、N、F，由梅涅劳斯定理，
BN/ND
*
DA/AC
*
CF/FB
=
1
BN/ND
*
1/3
*
1/2
=
1
BN/ND=6
(a+b)/c=6
(1/3
-
c)
/
c
=
6
c=1/21
所以，
b
=
1/3
-
a
-
c
=
1/3
-
1/5
-
1/21
=
3/35
AG交△BCE于A、P、G，由梅涅劳斯定理，
BP/PE
*
EA/AC
*
CG/GB
=
1
BP/PE
*
2/3
*
2/1
=
1
BP/PE
=
3/4
(a+d)/(b+c+e+f)=3/4
(a+d)/(1/3
-
a
+
1/3
-
d)
=
3/4
a+d=2/7
d
=
2/7
-
1/5
=
3/35
AF交△BCE于A、Q、F，由梅涅劳斯定理，
BQ/QE
*
EA/AC
*
CF/FB
=
1
BQ/QE
*
2/3
*
1/2
=
1
BQ/QE
=
3
(a+b+d+e)/(c+f)
=
3
(1/3
-
c
+
1/3
-
f)/(c+f)
=
3
c+f=1/6
f
=
1/6
-
1/21
=
5/42
所以，
e
=
1/3
-
d
-
f
=
1/3
-
3/35
-
5/42
=
9/70
所以，
阴影部分的面积h
=
1/3
-
b
-
e
=
1/3
-
3/35
-
9/70
=
5/42

Answer 2

如图，怎么求阴影面积，告诉了正方形边长。