Question

(1+x)^1/n减一的极限

一个等价无穷小的证明：x趋于0时,（1+x）^(1/n)-1等价于x/n的证明过程中,（1+x）^(1/n)-1等于一个很复杂的式子,怎么得来的?

Answer 1

一般情形应该是这样的,当x→0时,有(1+x)^a-1~ax
令(1+x)^a-1=T,则(1+x)^a=T+1
两边取对数,得 aln(1+x)=ln(T+1)
因为当x→0时,有x~ln(1+x)
所以考虑
lim【x→0】[(1+x)^a-1] / ax
=lim【x→0】[(1+x)^a-1] / [aln(1+x)]
=lim【T→0】T/ln(1+T)
=1
从而有当x→0时,有(1+x)^a-1~ax,取a=1/n就是你要的结论了!