Question

在圆O内,AB是直径,CD是相交AB的弦,且AB=10,CD=8,AE垂直CD于E,BF垂直CD于F,求AE-BF=?

急求答案.

Answer 1

AE-BF=6
解:设AB与CD交于点G,连接圆心O与弦CD中点H,在线段AG上取点M,使GM=GB,过M做MN‖BF,MP‖CD,分别交CD和AE于N和P两点
∵MN‖BF
∴∠NMG=∠GBF
∵GM=GB
∠MGN=∠BGF(对顶角相等)
∴△MGN≌△BGF
∴MN=BF
∵AE垂直CD于E,BF垂直CD于F
∴BF‖AE
∴MN‖BF‖AE
∵MP‖CD
AE⊥CD
∴四边形MPEN为矩形
∴MN=PE
∴AP=AE-PE=AE-BF
∵H为CD中点,O为圆心
∵OH⊥CD
OH为圆心到弦CD的距离
∵直径AB=10
弦CD=8
∴圆心到弦CD的距离OH=3(勾股定理)
∵OH⊥CD
AE⊥CD
∴OH‖AE
∴∠BAE=∠BOH
∠GHO=∠MPA=90°
∴△APM∽△OHG
∴AP/AM=OH/OG
∵OG=5-GB
MB=2GB
∴AM=10-2GB
∴AP/(10-2GB)=3/(5-GB)
∴AP=6=AE-BF
即AE-BF=6