变积分上限函数的求导请问∫t*f(2x-t)dt(上限为x,下限为0)如何求导?...

变积分上限函数的求导请问∫t*f(2x-t)dt(上限为x,下限为0)如何求导?也请给出理由.shenqi41271你给的答案是我以前做错的答案,我们老师求出来的是:xf... 变积分上限函数的求导 请问∫t*f(2x-t)dt(上限为x,下限为0)如何求导?也请给出理由. shenqi41271 你给的答案是我以前做错的答案,我们老师求出来的是: xf(x)+2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0) 我就是想知道对这个函数求导是不是把他当成复合函数求导,那样的话应该是xf(x)*2∫t*f'(2x-t)dt(上限x,下限0)么? 展开
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穆轩雍语蝶
2019-08-15 · TA获得超过3655个赞
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d[∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/dx=
[∫(0,x+Δx)
t*f(2x+2Δx-t)dt
-
∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/Δx=
{∫(0,x)
t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx
+
[∫(x,x+Δx)
t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx而因为[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]/Δx
=
2f'(2x-t){∫(0,x)
t*[f(2x+2Δx-t)-f(2x-t)]dt}/Δx
=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt令g(t)=
t*f(2x+2Δx-t),记g(t)的原函数为G(t)
则[∫(x,x+Δx)
t*f(2x+2Δx-t)dt]/Δx
=
[G(x+Δx)-G(x)]/Δx
=
G'(x)
=
g(x)
=
xf(x)(Δx为无穷小)原式=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
+
xf(x)不能看做复合函数,因为运用复合函数求导公式时,复合函数的某个自变量必须在一个函数内.如f[g(x)],对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)而自变量不在同一个函数里的,如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式,即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x).若把原式看做复合函数,令∫g(x)dx
(上限s,下限t)=
h[g(x),s,t]则∫t*f(2x-t)dt(上限x,下限0)=
h[t*f(2x-t),x,0],自变量x不在同一个函数内.
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