Question

已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c).

(1)求证：f'(x)=(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c);(2)若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图象关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由.只需要第2问！！

Answer 1

(2)由于f(x)是增函数，故a、b、c两两相等　　　用反证法可证明，设a<=b<=c,如有两个不相等，如a<b
当x=b时，f(b)=0
,当x=(b+c)/2>b>a时，f((b+c))<0,与已知为增函数矛盾，
同理b<c时取点x=(a+b)/2<c,f((a+b)/2>0,而f(c)=0
故a=b=c存在点P(a,0),满足条件，即对于f(x)上的任意一点（x0,y0),存在另一点（2a-x0,-y0)关于（a,0)中心对称