Question

(一道高一数学题)设函数f(x)是实数集R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x).

如题。 (1)求证:F(x)在R上是增函数; (2)若F(x1)+F(x2)>0，求证x1+x2>2

Answer 1

第一问很简单，用定义就行，f增，2-x减，复合后就是减函数，再加上负号就是增函数了，因此f-f(2-x)就是增函数。第二问可以用反证法，若x1+x2≤2，则有x1≤2-x2,x2≤2-x1,因此F(x1)+F(x2)=f(x1)-f(2-x2)+f(x2)-f(2-x1)≤0(这一步的成立是因为f单增)与已知矛盾。