Question

相似矩阵有相同特征值，如何证明各自的特征值重数一样？

相似矩阵有相同特征值，如何证明各自的特征值重数一样

Answer 1

假设矩阵A和B相似，也就是存在可逆矩阵P使得A=P^{-1}BP
现在我们只要证明A和B的特征多项式是相等的就好了
A的特征多项式是：det(λI-A)
B的特征多项式是：det(λI-B)
用一下A=P^{-1}BP，我们发现：
det(λI-A)=det(λI-P^{-1}BP)
=det(λP^{-1}P-P^{-1}BP)
=det(P^{-1}(λI-B)P)
=det(P^{-1})det(λI-B)det(P)
=det(P^{-1})det(P)det(λI-B)
=det(P^{-1}P)det(λI-B)
=det(I)det(λI-B)
=det(λI-B)
这就是说：A和B有相同的特征多项式，所以他们特征值的重数也是相等的

Answer 2

特征值多重，其实就是它的几个特征值相同而已。
这个重数没有必要证明。