Question

已知二次函数y=mx2+4（m-3）x-16（1）证明：该二次函数的图象与x轴有...

已知二次函数y=mx2+4（m-3）x-16 （1）证明：该二次函数的图象与x轴有两个交点； （2）当m为何值时，二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为最小？求出这个最小值，并求此时二次函数图象的开口方向与顶点坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，得mx2+4（m-3）x-16=0①，
∵△=16（m-3）2+64m=16（m2-2m+9）=16（m-1）2+128，
故不论m为任何不为0的实数，都有△＞0，
∴方程①有两个不等的实根，
∴二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，
∵y=mx2+4（m-3）x-16是二次函数，∴m≠0，
∴二次函数与x轴两交点的距离|x1-x2|=√△|m|=√16(m-3)2+64m|m|
=√16(m2-2m+9)m2=4√1-2m+9m2=4√(3m-13) 2+89，
当且仅当3m-13=0，即m=9时，|x1-x2|有最小值，最小值为8√23，
把m=9代入原式，得此时二次函数为y=9x2+24x-16，
∵9＞0，∴当x=-b2a=-2418=-43时，ymin=4ac-b24a=36×16-24236=-32，
∴此时二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（-43，-32）．