Question

这道概率论的题怎么做？

Answer 1

分享一种解法。详细过程是，由题设条件，X的分布函数为F(X)=0，x<0；F(X)=x，0≤x<1；F(X)=1，x≥1。
1)，∵X=min(x1,x2,…,Xn)，∴FX(x)=1-[1-F(x)]^n=1-(1-x)^n，∴fX(x)=[F(x)]'=n(1-x)^(n-1)，0<x<1、fX(x)=0，x为其它。
2)，∵Y=max(x1,x2,…,Xn)，∴FY(y)=[F(x)]^n=x^n=y^n，∴fY(y)=ny^(n-1)，0<y<1、fY(y)=0，y为其它。
3)，∵Xi(i=1,2,…，n)相互独立，∴X、Y相互独立，∴其联合分布密度函数f(x,y)=fX(x)*fY(y)=n²[y(1-x)]^(n-1)，0<x,y<1、f(x,y)=0,（x,y）为其它。
4)，∵E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=n∫(0,1)x(1-x)^(n-1)dx=1/(n+1)，E(X²)=∫(0,1)x²fX(x)dx=n∫(0,1)x²(1-x)^(n-1)dx=2/[(n+1)(n+2)]，∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²=n/[(n+1)²(n+2)]。
又，X、Y相互独立，∴E(XY)=E(X)E(Y)，∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，∴ρXY=Cov(X,Y)/[D(X)D(Y)]^(1/2)=0。
供参考。