高等数学，极限计算问题，这个计算过程有什么问题？ 20
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你的第一步就是错误的，正确的求解过程如下图所示:
答案为1/√e
追问
为什么是错的？
追答
这没这样的极限运算法则和公式，分子分母不是等价无穷大。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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可能不对。直观地看，分子上是(e-无穷小)的x次方，÷分母后是(1-无穷小)的x次方，结果不一定是1。所以原式这样的要取对数再求极限。
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y=1/x
y->0+
(1+y)^(1/y)
=e^{ ln[(1+y)^(1/y)] }
=e^[ ln(1+y) /y ]
=e^{ [ y -(1/2)y^2 +o(y^2)] /y }
=e^[ 1-(1/2)y +o(y)]
(1+y)^(1/y)/e
= e^[-(1/2)y +o(y)]
=1 - (1/2)y +o(y)
lim(x->+∞) [ (1+1/x)^x ]^x / e^x
=lim(x->+∞) [ (1+1/x)^x / e ]^x
=lim(y->0+) [ (1+y)^(1/y) / e ]^(1/y)
=lim(y->0+) [ 1 -(1/2)y ]^(1/y)
=e^(-1/2)
y->0+
(1+y)^(1/y)
=e^{ ln[(1+y)^(1/y)] }
=e^[ ln(1+y) /y ]
=e^{ [ y -(1/2)y^2 +o(y^2)] /y }
=e^[ 1-(1/2)y +o(y)]
(1+y)^(1/y)/e
= e^[-(1/2)y +o(y)]
=1 - (1/2)y +o(y)
lim(x->+∞) [ (1+1/x)^x ]^x / e^x
=lim(x->+∞) [ (1+1/x)^x / e ]^x
=lim(y->0+) [ (1+y)^(1/y) / e ]^(1/y)
=lim(y->0+) [ 1 -(1/2)y ]^(1/y)
=e^(-1/2)
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