Question

解方程：5x^4+12x^3-x^2+3x+5=0？

用有理根定理，写过程哦！用有理根定理，写过程哦！用有理根定理，写过程哦！

Answer 1

这就好比考驾照，我能教你理论知识，能教你驾驶实践，但是不能帮你去考试答题。
有理根定理（Rational Root Theorem) 是试根法的一部分，用于简化试根法，帮助我们排除大部分不可能的值，减少计算量。有理根定理是一个关于任意整系数方程的有理根的定理。

在代数中，有理根定理（或有理根测试，有理零定理，有理零测试或p / q定理）表示对多项式方程的有理解与整数系数的约束。这些解是方程左侧多项式的可能d 根（相当于零）。
有理根定理是一个关于任意整系数方程的有理根的定理。
在代数中，有理根定理（或有理根测试，有理零定理，有理零测试或定理）表示对多项式方程的有理解与整数系数的约束。

这些解是方程左侧多项式的可能d 根（相当于零）。
如果和不为零，那么当最低项（即p和q的最大公约数为1）写为的分数时，每个有理解x满足
p是常数项的整数因子，q是导数系数的整数因子。
有理根定理是高斯引理对多项式因式分解的特殊情况（单线性因子）。 如果导数系数，则整数根定理是有理根定理的特殊情况。
为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。 由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出合理的根，或者确定没有一个。 如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。
一般三次方程：

整数系数在复平面中具有三个解。 如果通过有理根定理发现没有合理的解，则代数方法表达解的唯一方法是使用立方根。 但是如果测试找到三个合理的解，那么可以避免立方根。 并且如果发现存在一个合理的解r，则可以使用多项式长分割从三次多项式中求出，得到二次多项式，其中两根是立方的剩余两根；并且这些可以使用二次公式找到，再次避免使用立方根。
如果存在分解多项式的所有系数的非平凡因子，则可以除以系数的最大公因数，以便获得高斯引理意义上的原始多项式; 这不会改变一套理性根源，只能加强可分割条件。 这个引理说，如果中的多项式因子，那么它也将作为原始多项式的乘积。 现在任何合理的根对应于多项式的中的1的因子，并且其原始代表是，假设p和q是互质的。 但是，的中的任何多项式都可以被q整除，并且可以被p整除的常数项可以被引导。 这个论点表明，更普遍地说，P的任何不可约因子都可以被认为具有整数系数，并且前导和常数系数除以P的相应系数。
这些根可以使用霍纳的方法进行测试。 在这种特殊情况下，只有一个合理根。 如果根候选不使多项式等于零，则可用于缩短剩余候选列表。例如，不起作用，因为多项式然后等于1。这意味着用代入中的常数项1，而系数保持与的系数相同的多项式。
如果找到k个理性根（k≥1），霍纳方法也将产生一个度数的多项式，其根与理性根恰好是原始多项式的根。 也许没有一个候选人是解决方案的情况; 在这种情况下，等式设置多项式的方程式没有理性的解。 如果方程缺少常数项，则0是方程的有理解之一。
简而言之，一个系数和常数项都是有理数的多项式的无理根是成对出现的。道理很简单，就跟复数里面的共轭对一样，无理根只有成对出现，多项式的系数和常数项才有可能是有理数。
有理根定理：

设，一有理系数方程f(x)=a x+...+a x+a ,其中a ≠0。

若有一有理数x 是f(x)的根，显然x =s/t，其中s、t∈Z且(s，t)=1，则|t|整除|a ,且|s|整除|a |。

(注：不等价)
形如kx+b=0的方程

方程的两边都是整式(单项式或多项式)且只含有一个未知数而且未知数的次数是一次。

这样的方程我们叫一元一次方程。

和它类似，形如

其中an，an-1，an-2……a2，a1，a0都属于某个数域P，这样的多项式叫做(系数在)数域P上的一元多项式。

我们可以用高中出现的f(x)，g(x)这样的符号表示多项式。有时为了偷懒，又会用f或g直接表示多项式。

注意，你再观察一下这个定义和刚刚一元一次方程中的定义。有没有什么不同的？

这里的多项式只是符号或文字的形式表达式，至于符号是不是代表未知数我们不关心。当符号代表未知数时，这个多项式定义就和初中一致。当符号表示其他东西时，这个定义就不完全等同于初中的定义了。

注意，这是定义的推广而不是推翻。

既然初始定义变了，所有东西就需要从头开始了。

还是对这个一元多项式来说

我们称aixⁱ为i次项，ai为i次项的系数。

我们称anxⁿ为首项，首项的次数n称为多项式的次数。多项式f(x)的系数记为(f(x))。

如果多项式f(x)和g(x)除去系数为0的项以为的所有同次项系数相等，那么我们就称f(x)和g(x)相等。记作f(x)=g(x)。

往极端说，如果一个多项式系数全是0，那么我们就称这个多项式为零多项式，记作0。零多项式比较特殊，我们不定义次数。因此，当我们使用(f(x))时我们都要求f(x)≠0

然后就是一元多项式环。

所有系数在数域P中的一元多项式全体，称为数域P上的一元多项式环，记作P[x]。我们称P为P[x]的系数域。

从此以后，我们的讨论都是在某一个固定的数域P上的多项式环P[x]中进行的。

Answer 2

有理根定理:
设f(x)=anx^n+...+a1x+a0 ∈Z(x),其中an≠0。如果c =s / t是f(x)的根，其中s、t∈Z且(s，t)=1，则t整除an,且s整除a0.

英文名称:Rational zero theorem

例:求f(x)=x^3-6x^2+15x-14的全部复数根
解 设f(x)存在有理根s/t,则t整除1,s整除14.因此t=1。又当x<0,恒有f(x)<0.则f(x)的实根只能大于0，所以s∈1、2、7、14。带入f(x)试验知道2是f(x)的根，有x-2除f(x)得到q(x)=x2-4x+7.易得q(x)的根是2+(3^0.5)i,2-(3^0.5)i.所以f(x)的根是2、2-(3^0.5)i和2+(3^0.5)i。

5x^4+12x^3-x^2+3x+5=0没有有理根

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x₁= 0.38871838087-0.66849792744i
x₂= 0.38871838087+0.66849792744i
x₃= -2.51162758857
x₄= -0.66580917316

Answer 3

x≈-2.5116

x≈-0.66581

x≈0.38872 - 0.66850 i

x≈0.38872 + 0.66850 i

Answer 4

Answer 5

有理根定理:
设f(x)=anx^n+...+a1x+a0 ∈Z(x),其中an≠0。如果c =s / t是f(x)的根，其中s、t∈Z且(s，t)=1，则t整除an,且s整除a0.

英文名称:Rational zero theorem

例:求f(x)=x^3-6x^2+15x-14的全部复数根
解 设f(x)存在有理根s/t,则t整除1,s整除14.因此t=1。又当x<0,恒有f(x)<0.则f(x)的实根只能大于0，所以s∈1、2、7、14。带入f(x)试验知道2是f(x)的根，有x-2除f(x)得到q(x)=x2-4x+7.易得q(x)的根是2+(3^0.5)i,2-(3^0.5)i.所以f(x)的根是2、2-(3^0.5)i和2+(3^0.5)i。

5x^4+12x^3-x^2+3x+5=0没有有理根