Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2...

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，-2)． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[0，π12]，求f（x）的最值； （3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x=π12对称，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

解：（1）由最低点为M(2π3，-2) 可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得
T2=π2，即T=π，ω=2πT=2ππ=2．
由点M(2π3，-2)在图象上的2sin(2×2π3+φ)=-2，即sin(4π3+φ)=-1，
故4π3+φ=2kπ-π2，k∈Z，∴φ=2kπ-11π6，又φ∈(0，π2)，
∴φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6)．
（2）因为
x∈[0，π12]，∴2x+π6∈[π6，π3]，所以当2x+π6=π6时，即x=0时，f（x）取得最小值1；当2x+π6=π3，即x=π12时，f(x)取得最大值3．
（3）由题意得
g(x)=f(π6-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ，
可得
kπ-π2≤x≤kπ，所以g（x）的单调增区间是[kπ-π2，kπ]，k∈Z．