Question

给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．（Ⅰ...

给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点． （Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小； （Ⅱ）设FB=λAF，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer 1

解：（I）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，OA•OB=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=2x1x2-（x1+x2）+1=-3.|OA|•|OB|=x21+y21•x22+y22=x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]=41
cos＜OA，OB＞=OA•OB|OA|•|OB|=-34141.
所以OA与OB夹角的大小为π-arccos34141．
解：（II）由题设知FB=λAF得：（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），即x2-1=λ(1-x1)(1)y2=-λy1(2)
由（2）得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1（3）
联立（1）（3）解得x2=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2λ）或B（λ，-2λ），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2λ（x-1）或（λ-1）y=-2λ（x-1）
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为2λλ-1或-2λλ-1
由2λλ-1=2λ+1+2λ-1，可知2λλ-1在[4，9]上是递减的，
∴34≤2λλ-1≤43，-43≤-2λλ-1≤-34
直线l在y轴上截距的变化范围是[-43，-34]∪[34，43]．

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示