Question

求解:三角形周长是36,各边长是整数,面积也是整数。求有多少个组合

Answer 1

一共有4个组合。

  9  10  17

  9  12  15

 10  10  16

 10  13  13

以下是fortran代码和输出结果。

Answer 2

解法之一如下：
若三边相等，则面积为 (√3/4)12²，显然不是整数，不合题意；
若三边不全相等，则最长边可以且仅可以是 13, 14, 15, 16, 17 之一，再结合半周长p=36/2=2×3²及三角形的一个面积公式√[p(p-a)(p-b)(p-c)]分类讨论如下：
① 若最长边是13，则另两边长有且仅有两种情形：13,10； 12,11. 它们对应的p(p-a)(p-b)(p-c)的值依次为
18×5×5×8＝2⁴×3²×5²＝(2²×3×5)²，
18×5×6×7＝2²×3³×5×7 (非平方数)，
∴ 组合 13,13,10 符合题意.
② 若最长边是14，则另两边长有且仅有四种情形：14,8；13,9；12,10；11,11. 它们对应的p(p-a)(p-b)(p-c)的值依次为
18×4×4×10＝2⁶×3²×5 (非平方数)，
18×4×5×9＝2³×3⁴×5 (非平方数)，
18×4×6×8＝2×3²×2³×3×2³ (非平方数)，
18×4×7×7＝2×3²×2²×7² (非平方数)，
∴ 此类中没有符合题意的组合.
③ 若最长边是15，则另两边长有且仅有五种情形：15,6； 14,7；13,8；12,9；11,10. 它们对应的p(p-a)(p-b)(p-c)的值依次为
18×3×3×12＝2×3⁴×2²×3 (非平方数)，
18×3×4×11＝2×3³×2²×11 (非平方数)，
18×3×5×10＝2×3³×5²×2 (非平方数)，
18×3×6×9＝18²×3²＝54²，
18×3×7×8＝2×3²×3×7×2³ (非平方数)，
∴ 组合 15,12,9 符合题意.
④ 若最长边是16，则另两边长有且仅有七种情形：16,4； 15,5；14,6；13,7；12,8；11,9；10,10. 它们对应的p(p-a)(p-b)(p-c)的值依次为
18×2×2×14＝2×3²×2³×7 (非平方数)，
18×2×3×13＝2²×3³×13 (非平方数)，
18×2×4×12＝2²×3²×2⁴×3 (非平方数)，
18×2×5×11＝2²×3²×5×11 (非平方数)，
18×2×6×10＝2⁴×3³×5 (非平方数)，
18×2×7×9＝2²×3⁴×7 (非平方数)，
18×2×8×8＝6²×8²＝48²，
∴ 组合 16,10,10 符合题意.
⑤ 若最长边是17，则另两边长有且仅有八种情形：17,2；16,3； 15,4；14,5；13,6；12,7；11,8；10,9. 它们对应的p(p-a)(p-b)(p-c)的值依次为
18×1×1×16＝2⁵×3² (非平方数)，
18×1×2×15＝2²×3³×5 (非平方数)，
18×1×3×14＝2²×3³×7 (非平方数)，
18×1×4×13＝2³×3²×13 (非平方数)，
18×1×5×12＝2³×3³×5 (非平方数)，
18×1×6×11＝2²×3³×11 (非平方数)，
18×1×7×10＝2²×3²×5×7 (非平方数)，
18×1×8×9＝2⁴×3⁴＝36²，
∴ 组合 17,10,9 符合题意.
综上所述，所求组合共有4个，分别为
13,13,10 (面积为60)；
15,12,9 (面积为54)；
16,10,10 (面积为48)；
17,10,9 (面积为36).